フィボナッチ数列とは2016/06/13 11:53


 フィボナッチ数列という言葉を聞いたことがあると思います。
以前に世界的に有名になったダン・ブラウンの「ダ・ヴィンチコード」という本を読んだことがある、あるいはトム・ハンクスが主演した映画「ダ・ヴィンチコード」を観た人なら、知っているはずです。


フィボナッチ数列というのは、数学の世界ではとても有名な数列なのです。
それでは、フィボナッチ数列とは、どのような数列なのでしょうか。




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   フィボナッチ数列の定義

 フィボナッチ数列とは

   1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,・・・・

 という数列である。漸化式で表すと

 a1=1,a2=1,an+2=an+1 + an となる。


この数列は、前の2つの項の和が次の項の値になっています。
この数列を始めて本格的に研究した人は,レオナルド・ピサノという数学者(13世紀頃)です。父親の名前がボナッチだったので,その息子と言う意味のフィボナッチと呼ばれるようになったそうです。


彼はウサギのつがいについて研究していました。ウサギのつがいは,生まれてから2か月で雌雄一対の子どもを産みます。このとき,一つがいのウサギはどのように増えていくかという問題として,この数列を研究し始めたのです。


その結果、 ウサギのつがいの数がフィボナッチ数列の数になっていくことを発見したのです。




 フィボナッチ数列の面白さと不思議さ

 フィボナッチ数列の隣同士の数の比を見ると、その比が次第に黄金比に近づいていくという性質を持っています。つまり,フィボナッチ数列の隣同士の数の比は,黄金比の近似的な値が並んでいるのです。


 黄金比とは何なのかというと、ウィキペディア(Wikipedia)によると、次のように説明されていました。

『黄金比(おうごんひ)は、最も美しいとされる比率で、1:(1+√5)/2。近似値は1:1.618、約5:8です。線分を a, bの長さで 2 つに分割するときに、a : b = b: (a + b) が成り立つように分割したときの比 a: b のことである。』


黄金比でてきた四角形(辺の長さの比が黄金比になる四角形)の黄金分割: 黄金四角形から短辺を一辺とする正方形を取り除いて、残る部分はまた黄金四角形となる。そうして、この長方形は無限個の正方形で埋め尽くされていく。つまり、黄金比でできた四角形はフラクタル構造を形成するのです。


黄金比は五角形の中や、歴史的建造物、芸術作品の中に見出すことができます。また、自然界にもたくさん存在しています。


黄金比で長さを分けることを黄金比分割または黄金分割といいます。優れた絵画や建築作品には、必ずたくさんの黄金比が見られます。そして、どういうわけなのか、為替や株などの価格の変化も黄金比で動いているのです。


もっとも安定し、美しい比率とされる黄金比の比率は、1対1.618です。 長方形の縦と横との比率がこの比になるとき、安定した美感を与えると言われています。




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